虚数への疑念

2010-10-03 10:15:53

数学には虚数というものがあります。

例えば√-1です。

√-1は、ある数を二乗したときに-1になる数ですよね。

でも1×1=+1です。

そして数学では-1×-1=+1と教えます。

有り得ない数なので虚数と呼ばれます。

しかしこれは本当にそうでしょうか。

+を白、-を黒と考えてみるとどうでしょう。

1×1は白い一つの箱の中に、白い珠を一つ入れたと考えれば、白珠の総量は1です。

-1×-1は、黒い一つの箱の中に、黒い珠を一つ入れたと考えれば、黒珠の総量は1です。

掛け算の意味を考えてみましょう。

まず2×2×2を、先の論法で白箱と白珠で表すと、2つの大きな白箱の中に、それぞれ2つの白い小箱があり(つまり小箱が4つ)、小箱の中にそれぞれ白珠が2つずつ入っています。

白珠の数は8つですよね。

これが3×4×5なら、

3つの大箱の中に4つずつの小箱(12の小箱)、小箱の中に5つずつの珠ということになります。

これが4つの大箱、5つずつの小箱、3つずつの珠でも、珠の総量は変わりません。

つまり-1×-1を数学で+1としているのは、-1の珠が一個というように、個数と量数を混同しているからだと思います。

これは「1つの黒箱の中に1つの黒珠があります。さて黒珠はいくつですか？」という問題で、答えは白珠が1つだと答えるようなものです。

単に符号を取り除いた個数を問うのであれば、-1(黒箱)は1個であり、-1(黒珠)も1個なのだから、1個×1個=1個でも良いのですが、そこには既に+-という符号の意味はありません。

黒(-)珠が1つなのだから、-1×-1の答えは黒1×黒1=黒1=-1でよいのではないでしょうか。

そして掛け算をこのように考えるなら、-1×+1はどちらを箱としどちらを珠とするかで答えが変わります。

-1を箱とするなら、答えは白珠が1つで+1です。

+1を箱とするなら、答えは黒珠が1つで-1です。

要はどちらを個数、どちらを量数とするかの区別が、数学の基本的な部分に欠けているということです。